Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$tan$\frac{πx}{ω}$（ω＞0）
（1）當ω=4時，求f（x）的最小正周期及單調區(qū)間；
（2）若|f（x）|≤3在x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}$]上恒成立，求ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當ω=4時，根據(jù)正切函數(shù)的周期公式和單調性即可求f（x）的最小正周期及單調區(qū)間；
（2）根據(jù)|f（x）|≤3在x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}$]上恒成立，建立了周期和最值之間的關系即可．

解答 解：（1）當ω=4時，f（x）=$\sqrt{3}$tan$\frac{π}{4}x$，
則f（x）的最小正周期T=$\frac{π}{\frac{π}{4}}=4$，
由kπ$-\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}x$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得4k-2＜x＜4k+2，k∈Z，
即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（4k-2，4k+2），k∈Z；
（2）∵ω＞0，
∴函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{π}{\frac{π}{ω}}=ω$，
∴若|f（x）|≤3在x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}$]上恒成立，
則f（x）在x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}$]上為單調遞增函數(shù)，
滿足$-\frac{π}{3}$＞-$\frac{1}{2}T$=-$\frac{ω}{2}$，
∴ω＞$\frac{2π}{3}$，
∵|f（$-\frac{π}{3}$）|＞f（$\frac{π}{4}$），
此時滿足f（-$\frac{π}{3}$）≥-3，
即f（-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$tan（-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$）≥-3，
即tan（-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$）≥-$\sqrt{3}$，
則-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$≥$-\frac{π}{3}$，
則$\frac{π}{ω}$≤1，
即ω≥π，
綜上ω≥π．

點評 本題主要考查正切函數(shù)的周期和單調性的應用，綜合考查正切函數(shù)的圖象和性質．