Question

3．${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分的幾何意義，所求表示如圖所示的陰影部分的面積，分割法求之．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，
由定積分的幾何意義，${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx所求表示如圖陰影部分的面積，即直角三角形OAB與扇形OAC的面積和，
其中AB=$\sqrt{3}$，∠AOC=30°
故S_陰影=S_扇形BOC+S_△AOB=$\frac{30}{360}$×π×4+$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了定積分的幾何意義的運用；關鍵是明確所求對應的幾何圖形．