Question

20．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，且點E為棱AB上任意一個動點．當(dāng)點B₁到平面A₁EC的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$時，點E所有可能的位置有幾個2．

Answer 1

分析 建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)出E點坐標，利用B₁到平面A₁EC的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$求得a的值得答案．

解答 解：建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)E（a，0，0），C（1，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1）．
則$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{{A}_{1}E}=（a，0，-1）$，
設(shè)平面A₁EC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{ax-z=0}\end{array}\right.$，取z=a，則x=1，y=a-1．
∴$\overrightarrow{n}=（1，a-1，a）$．
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=（1，0，0）$，
由$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}+（a-1）^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$，解得：$a=\frac{7±\sqrt{21}}{14}$．
∴E所有可能的位置有2個．
故答案為：2．

點評 本題考查多面體中的點線面間的距離，考查了空間向量在解立體幾何問題中的應(yīng)用，是中檔題．