Question

5．如圖，在矩形ABCD中，點E為邊AD上的點，點F為邊CD的中點，AB=AE=$\frac{2}{3}$AD=4，現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（1）求證：平面PBE⊥平面PEF；
（2）求四棱錐P-BCEF的體積．

Answer 1

分析 （1）在Rt△DEF中，由已知可得∠DEF=45°，在Rt△ABE中，得到∠AEB=45°，則可得到EF⊥BE，結(jié)合平面PBE⊥平面BCDE，可得EF⊥平面PBE，從而得到平面PBE⊥平面PEF；
（2）過P做PO⊥BE，由面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定得到PO⊥平面BCDE，即PO為四棱錐P-BCFE的高．把S_{四邊形BCFE}轉(zhuǎn)化為S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△DEF，求值后代入棱錐的體積公式得答案．

解答 （1）證明：如圖，
在Rt△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°．
在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，
∴∠BEF=90°，則EF⊥BE．
∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
∵EF?平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF；
（2）解：過P做PO⊥BE，
∵PO?平面PBE，平面PBE⊥平面BCDE且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面BCDE，
四棱錐P-BCFE的高h=PO=$2\sqrt{2}$．
S_{四邊形BCFE}=S_矩形ABCD-S_△ABE$-{S}_{△DEF}=6×4-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×2=14$，
則${V}_{P-BCFE}=\frac{1}{3}{S}_{四邊形BCFE}•h$=$\frac{1}{3}×14×2\sqrt{2}=\frac{28\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．