Question

1．已知關(guān)于x的不等式a²x-2a-x＞0在區(qū)間[0，$\frac{3}{4}$]內(nèi)有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 需要分類討論，求出不等式的解集使與區(qū)間[0，$\frac{3}{4}$]有交集即可．

解答 解：a²x-2a-x＞0，
當(dāng)a=0時(shí)，解得x＜0，不合題意，
當(dāng)a≠0時(shí)，
原不等式化為（a²-1）x＞2a，
當(dāng)a=1時(shí)，不等式解為空集，
當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為R，
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)a≠0時(shí)，不等式的解為x＜$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$，
∵x的不等式a²x-2a-x＞0在區(qū)間[0，$\frac{3}{4}$]內(nèi)有實(shí)數(shù)解，
∴$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$＞0，
解得a＜0，
∴此時(shí)a的取值范圍為（-1，0），
當(dāng)a＜-1或a＞1時(shí)，不等式的解為x＞$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$，
∵x的不等式a²x-2a-x＞0在區(qū)間[0，$\frac{3}{4}$]內(nèi)有實(shí)數(shù)解，
∴$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$＜$\frac{3}{4}$，
解得a＞3，或a＜-$\frac{1}{3}$，
∴此時(shí)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（3，+∞），
綜上所述a的取值范圍為：（-∞，0）∪{3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解集的問(wèn)題，關(guān)鍵是分類討論的思想，屬于中檔題．