Question

18．若函數(shù)f（x）=（x-2）（x²+c）有極值0，則函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為-1或-5．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=（x-2）（x²+c）有極值0，求出零點(diǎn)x₀，得f′（x₀）=0，從而求得c的值，代入原函數(shù)求導(dǎo)即可求得f′（1）．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（x-2）（x²+c）有極值0，
先求出零點(diǎn)x₀，有f′（x₀）=0；
①當(dāng)c＞0時(shí)，函數(shù)無極值，不滿足題意；
②當(dāng)c=0時(shí)，f（x）=x²（x-2），在x=0處有極值0，此時(shí)在x=1處切線斜率為f′（1）=-1；
③當(dāng)c＜0時(shí)，零點(diǎn)有x₀=2，±$\sqrt{-c}$，代入f′（x₀）=0，
得到c=-4滿足題意，此時(shí)f（x）=（x-2）（x²-4），在x=2處取得極值0，
f（x）在x=1處切線斜率為f′（1）=-5；
故答案為：-1或-5．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，是中檔題．