Question

9．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x）=2f（x-2），且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=|x|-1，則當(dāng)x∈[-9，0）∪（0，9]時(shí)，y=f（x）與$g（x）={log_{\frac{1}{3}}}|x|$的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為16．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x）=2f（x-2），得y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=2f（x），
利用此條件作出函數(shù)y=f（x）與g（x）的圖象，利用圖象得到函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x）=2f（x-2），
∴y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=2f（x），且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=|x|-1，
∵f（x）與g（x）都為偶函數(shù)，只看x＞0時(shí)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，
∴f（x）在區(qū)間[1，3]的圖象是由函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]圖象作振幅擴(kuò)大2倍的變換，而f（x）在區(qū)間[3，5]的圖象是由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]圖象作振幅擴(kuò)大2倍的變換，依此類推；
分別作出函數(shù)y=f（x）（x＞0）與g（x）=log₄x（x＞0）的圖象如圖：

由圖象可知當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（x）與g（x）=log₄x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，
由偶函數(shù)的性質(zhì)知共有16個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用條件求出函數(shù)f（x）的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．