Question

17．已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為L，若L與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，求得切線方程，再由直線和圓相切的條件：d=r，可得a=1；
（2）令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，的減區(qū)間，注意定義域；
（3）對a討論，①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，②當(dāng)a＞1時(shí)，通過函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求得所求區(qū)間上的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=1-a，
切點(diǎn)為（1，-a），
則切線方程為y=（1-a）x-1，
由l與圓（x+1）²+y²=1相切，則$\frac{|a-2|}{\sqrt{1+（1-a）^{2}}}$=1，
解得a=1；
（2）由a＞0，令f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{a}$；
令f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$．
則f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（3）①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≥0在（0，1]恒成立，
即f（x）在（0，1]遞增，f（x）的最大值為f（1），即為-a；
②當(dāng)a＞1時(shí)，即$\frac{1}{a}$＜1時(shí)，
由f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，1]遞減，可得f（$\frac{1}{a}$）取得最大，
且為-lna-1．
綜上可得，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）的最大值為-a；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的最大值為-lna-1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和求最值的方法，同時(shí)考查直線和圓相切的條件，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．