Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，g（x）=$\frac{2e}{x}$（p是實(shí)數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若對(duì)任意x∈[2，e]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求p的取值范圍；
（2）若存在x₀∈[2，e]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范圍；
（3）若p＞1，且對(duì)任意x₁∈[2，e]，x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求p的取值范圍；
（4）若p＞1，且存在x₁∈[2，e]，x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求p的取值范圍；
（5）若p＞1，且對(duì)任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用參數(shù)分離，可得p＞$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$對(duì)x∈[2，e]恒成立．令h（x）=$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$，x∈[2，e]，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得最大值即可；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的最小值即可；
（3）依題意[f（x）]_min＞[g（x）]_max，通過單調(diào)性分別求得兩函數(shù)的最小值和最大值即可；
（4）依題意[f（x）]_max＞[g（x）]_min，通過單調(diào)性分別求得兩函數(shù)的最大值和最小值即可；
（5）依題意[f（x）]_min＞[g（x）]_min，通過單調(diào)性分別求得兩函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）由已知不等式f（x）-g（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx-$\frac{2e}{x}$＞0對(duì)x∈[2，e]恒成立，
∴p＞$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$對(duì)x∈[2，e]恒成立．
令h（x）=$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$，x∈[2，e]，則p＞[h（x）]_max．
∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{-2（1+{x}^{2}）lnx-2x（2e-x）-2}{（{x}^{2}-1）^{2}}$＜0．
∴h（x）在區(qū)間[2，e]上是減函數(shù)，
∴[h（x）]_max=h（2）=$\frac{4ln2+2e}{3}$，
故p＞$\frac{4ln2+2e}{3}$；
（2）由于存在x₀∈[2，e]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，
由（1）可得，p＞$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$對(duì)x∈[2，e]成立．
令h（x）=$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$，x∈[2，e]，則p＞[h（x）]_min．
由（1）可得h（x）在區(qū)間[2，e]上是減函數(shù)，
∴[h（x）]_min=h（e）=$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
故p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$；
（3）依題意[f（x）]_min＞[g（x）]_max，
∵f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$＞0，∴f（x）在[2，e]單調(diào)遞增．
又g（x）=$\frac{2e}{x}$在[2，e]單調(diào)遞減，
故f（2）＞g（2），即$\frac{3}{2}$p-2ln2＞e，
解得p＞$\frac{4ln2+2e}{3}$；
（4）依題意[f（x）]_max＞[g（x）]_min，
∵f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$＞0，∴f（x）在[2，e]單調(diào)遞增．
又g（x）=$\frac{2e}{x}$在[2，e]單調(diào)遞減，
故f（e）＞g（e），即p（e-$\frac{1}{e}$）-2＞2
解得p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$；
（5）依題意[f（x）]_min＞[g（x）]_min，
∵f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$＞0，∴f（x）在[2，e]單調(diào)遞增．
又g（x）=$\frac{2e}{x}$在[2，e]單調(diào)遞減，
故f（2）＞g（e），即$\frac{3}{2}$p-2ln2＞2，
解得p＞$\frac{4+4ln2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，主要考查不等式恒成立和成立時(shí)參數(shù)的取值問題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．