Question

6．已知△ABC對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c，若（a-ccosB）•sinB=（b-c•cosA）•sinA．判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 先通過(guò)正弦定理把a(bǔ)，b，c的表達(dá)式代入（a-ccosB）sinB=（b-ccosA）sinA中，化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而可推斷三角形是等腰或直角三角形．

解答 解：∵（a-ccosB）sinB=（b-ccosA）sinA，由正弦定理得（a-ccosB）b=（b-ccosA）a，
∴0=asinB-bsinA，
∵由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴a=sinA×2R，b=sinB×2R，c=sinC×2R，
代入原式，消去2R得：
cosBsinB-cosAsinA=0，
∴sin2B-sin2A=0，
所以2B=2A（等腰三角形）或者2B+2A=180°（直角三角形），
∴三角形是等腰或直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．在解三角形問(wèn)題中經(jīng)常把邊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成角的正弦或余弦，利用三角函數(shù)的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，屬于中檔題．