Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁₀=19，S₅=25．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；     
（2）若b_n=${2^{{a_n}+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁₀=19，S₅=25．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=19}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=${2^{{a_n}+1}}$=2²ⁿ=4ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其首項為4，公比為4．
∴前n項和為T_n=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{{4}^{n+1}-4}{3}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．