Question

10．已知$\overrightarrow a=（2cosx，sinx），\overrightarrow b=（sin（x+\frac{π}{3}），cosx-\sqrt{3}sinx），f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函數(shù)的周期性及其求法即可解得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，從而可求2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，2]．
（3）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）+sinx（cosx-$\sqrt{3}sinx$）
=2cosx（$\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx$）+sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，2]．
（3）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]，（k∈Z）．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．