Question

16．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)第的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合．點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為（2，π）、$（a，\frac{π}{4}）$（a∈R），曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)）
（Ⅰ）若$a=2\sqrt{2}$，求△AOB的面積；
（Ⅱ）設(shè)P為C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的最小值距離為1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$a=2\sqrt{2}$時(shí)，A（-2，0），B（2，2），由于k_OB=1，可得∠AOB=135°．利用S_△OAB=$\frac{1}{2}|OA||OB|sin13{5}^{°}$即可得出．
（2）曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)），化為（x-1）²+y²=4，圓心C（1，0），半徑y(tǒng)=2．由題意可得：圓心到直線(xiàn)AB的距離為3，對(duì)直線(xiàn)AB斜率分類(lèi)討論，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)$a=2\sqrt{2}$時(shí)，A（-2，0），B（2，2），
∵k_OB=1，∴∠AOB=135°．
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×sin135°=2$．
（2）曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)），化為（x-1）²+y²=4，圓心C（1，0），半徑y(tǒng)=2．
∵點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的最小值距離為1，
∴圓心到直線(xiàn)AB的距離為3，
當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x=-2，
顯然，符合題意，此時(shí)$a=-2\sqrt{2}$．
當(dāng)直線(xiàn)AB存在斜率時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x+2），
則圓心到直線(xiàn)AB的距離$d=\frac{|3k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
依題意有$\frac{|3k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=3$，無(wú)解．
故$a=-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、三角形的面積計(jì)算公式、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．