Question

3．有9支水平相當（每場比賽中每個隊獲勝的概率均為$\frac{1}{2}$）的籃球隊參加俱樂部聯(lián)賽，甲隊所屬俱樂部對甲隊的獎勵規(guī)定如下：8場全勝，獎金100萬，在此基礎(chǔ)上每輸一場，獎金減少10萬元．
（1）求甲隊所得獎金數(shù)大于30萬元的概率；
（2）求甲隊所得獎金數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)表示甲對獲得勝利的場數(shù)，則P（ξ=k）=${C}_{9}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}（\frac{1}{2}）^{9-k}$=${C}_{9}^{k}（\frac{1}{2}）^{9}$，設(shè)η表示甲對獲得的獎金數(shù)，則η=10ξ+10，由η≥30可得，ξ≥2，利用對立事件的概率公式可求；
（2）由（1）可得，η=10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，結(jié)合（1）可求其分布列，然后有ξ～（9，$\frac{1}{2}$），可求Eξ=np，而Eη=E（10ξ+10）=10Eξ+10，代入可求．

解答 解：（1）設(shè)表示甲對獲得勝利的場數(shù)，則
P（ξ=k）=${C}_{9}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}（\frac{1}{2}）^{9-k}$=${C}_{9}^{k}（\frac{1}{2}）^{9}$（k=0，1，2…9），
設(shè)η表示甲對獲得的獎金數(shù)，則η=10ξ+10，由η≥30可得，ξ≥2，
∵P（ξ≥2）=1-P（ξ＜2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=1-${C}_{9}^{0}（\frac{1}{2}）^{9}{-C}_{9}^{1}（\frac{1}{2}）^{9}$=1-$\frac{5}{216}$=$\frac{211}{216}$，
（2）由（1）可得，η=10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，
甲對所得獎金的分布列為：P（η=10）=p（ξ=0）=${C}_{9}^{0}（\frac{1}{2}）^{9}$，
P（η=20）=P（ξ=1）=${C}_{9}^{1}（\frac{1}{2}）^{9}$，
…
P（η=100）=P（ξ=9）=${C}_{9}^{9}（\frac{1}{2}）^{9}$，
∵ξ～（9，$\frac{1}{2}$），
∴Eξ=np=9×$\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$，
∴Eη=E（10ξ+10）=10Eξ+10=55．

點評 本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及期望值的求解，選擇二項分布的期望公式可以簡化基本運算