Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，0＜x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，則函數(shù)g（x）=4f（x）-1的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 令g（x）=0，從而得到f（x）=$\frac{1}{4}$，從而g（x）零點的個數(shù)便等于函數(shù)f（x）圖象和y=$\frac{1}{4}$的圖象交點個數(shù)，首可以畫出f（x）在（0，2]上的圖象，而f（x）在（2，+∞）上的圖象是將f（x）在（0，2]上的圖象向右每次平移2個單位，縱坐標(biāo)都等于平移前縱坐標(biāo)的一半．這樣即可判斷x＞6時，f（x）的圖象在y=$\frac{1}{4}$圖象的下面，并畫出f（x）在（0，6]上的圖象，根據(jù)圖象即可判斷f（x）在（0，+∞）上的圖象和y=$\frac{1}{4}$交點個數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)圖象的對稱性即可得出f（x）在（-∞，0）上的圖象和y=$\frac{1}{4}$交點個數(shù)，從而最后求出g（x）零點的個數(shù)．

解答 解：令g（x）=4f（x）-1=0，則f（x）=$\frac{1}{4}$；斷g（x）零點個數(shù)，只需判斷方程$f（x）=\frac{1}{4}$實數(shù)根的個數(shù)，即判斷函數(shù)f（x）和函數(shù)y=$\frac{1}{4}$交點個數(shù)；
∴需畫出f（x）的圖象，先來畫0＜x≤2時，f（x）的圖象：
0＜x≤2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-1}-1}&{0＜x≤1}\\{{2}^{x-1}-1}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，容易畫出f（x）在（0，2]上的圖象，由f（x）在（2，+∞）上的解析式知道，f（x）在（2，4]上的圖象，是f（x）在（0，2]上的圖象向右平移2個單位，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，這樣即可畫出f（x）在（0，6]上的圖象，而f（x）在x＞6時的圖象在直線y=$\frac{1}{4}$的下方，所以畫出f（x）在（0，6]上的圖象如下：

根據(jù)圖象可看出，在（0，+∞）上，f（x）和y=$\frac{1}{4}$的交點有5個；
∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；
∴f（x）在（-∞，0）上的圖象和y=$\frac{1}{4}$的圖象有5個交點；
∴f（x）的圖象和y=$\frac{1}{4}$的圖象有10個交點；
∴g（x）零點個數(shù)為10．
故選：D．

點評 考查函數(shù)零點的概念，偶函數(shù)的定義，偶函數(shù)圖象的對稱性，以及方程f（x）=g（x）的解的個數(shù)和函數(shù)f（x），g（x）交點個數(shù)的關(guān)系，平移變換以及伸縮變換的概念，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值．