Question

已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若曲線在處的切線平行于直線，求證：

對(duì)，；

（3）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）由題意，在上恒成立，

即在上恒成立．

設(shè)，所以，

所以，即．

（2）由，得．

由題意，，即，所以．

所以．

不等式即為．

由，知函數(shù)在處取最小值為，

設(shè)，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/04/00/2015050400525768850863.files/image289.gif'>，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即當(dāng)時(shí)，的最大值為，

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/04/00/2015050400525768850863.files/image293.gif'>，所以，即原不等式成立．     

（注：不等式即為，

設(shè)，證明對(duì)成立，證明略）

（3），

．

①當(dāng)時(shí)，由于，所以，所以在上遞減，

由，，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1；

②當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/04/00/2015050400525768850863.files/image311.gif'>，，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)0；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1．

當(dāng)，即時(shí)，，所以在上遞減，

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/04/00/2015050400525768850863.files/image303.gif'>，，

所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)0；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1．

當(dāng)，即時(shí)，

滿足時(shí)，；時(shí)，，

即函數(shù)在上遞減，在上遞增，

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/04/00/2015050400525768850863.files/image303.gif'>，，

而，

設(shè)，則，且，

由，知時(shí)，，時(shí)，，

即在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/04/00/2015050400525768850863.files/image342.gif'>，，

所以當(dāng)時(shí)，，即，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)0．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)0；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1．