Question

20．π為圓周率，e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)．則3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π這6個數(shù)中的最大值是3^π．

Answer 1

分析 構造函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，由導數(shù)性質得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，e），單調遞減區(qū)間為（e，+∞）．由e＜3＜π，得ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．從而3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，由函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的單調性質，得f（π）＜f（3）＜f（e），由此能求出3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π這6個數(shù)中的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定義域為（0，+∞），
∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當f′（x）＞0，即0＜x＜e時，函數(shù)f（x）單調遞增；
當f′（x）＜0，即x＞e時，函數(shù)f（x）單調遞減．
故函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，e），單調遞減區(qū)間為（e，+∞）．
∵e＜3＜π，
∴eln3＜elnπ，πl(wèi)ne＜πl(wèi)n3，即ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是根據(jù)函數(shù)y=lnx，y=e^x，y=π^x在定義域上單調遞增，可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
故這六個數(shù)的最大數(shù)在π³與3^π之中，
由e＜3＜π及函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的單調性質，得f（π）＜f（3）＜f（e），
即$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{ln3}{3}$＜$\frac{lne}{e}$，
由$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{ln3}{3}$，得lnπ³＜ln3^π，∴3^π＞π³，
3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π這6個數(shù)中的最大值是3^π．
故答案為：3^π．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及其應用、數(shù)值的大小比較，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，難度較大．