Question

14．對于定義在R上的函數(shù)f（x），有下述三個命題；
①若y=f（x）是奇函數(shù)，則y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對稱；
②若函數(shù)y=f（x+1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③如果函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），那么該函數(shù)以4為周期．
其中正確命題的序號為①③．

Answer 1

分析 對于①，奇函數(shù)f（x）的對稱中心是（0，0），向右平移一個單位后得f（x-1），對稱中心必然平移一個單位．
對于②，這是兩個函數(shù)的對稱軸之間的關(guān)系，由x+2=2-x，得x=0是對稱軸．
對于③，根據(jù)周期的定義可以證明是正確結(jié)論．

解答 解：對于①，若f（x）為奇函數(shù)，則（0，0）是函數(shù)f（x）的對稱中心，將函數(shù)向右平移一個單位得f（x-1），對稱中心也向右平移一個單位，故f（x-1）關(guān)于（1，0）中心對稱．故結(jié)論正確．
對于②，結(jié)論是不正確的．將函數(shù)f（x）向左平移1個單位得f（x+1），將f（-x）向右平移1個單位得f（1-x），因?yàn)閒（x）與f（-x）關(guān)于y軸對稱，所以f（x+1）與f（1-x）也是關(guān)于y軸對稱；
對于③，結(jié)論正確．∵f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），∴f（x+4）=f[（x+1）+3]=f[3-（x+1）]
=f（2-x）=f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]=f（x），∴T=4．
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．