Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+4．
（1）證明：{a_n+2}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=log₃（a_n+2），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)a_n+1=3a_n+4變形可知a_n+1+2=3（a_n+2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+2}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）知b_n=n，進(jìn)而計(jì)算、裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）證明：由a_n+1=3a_n+4得a_n+1+2=3（a_n+2），
又因?yàn)閍₁+2=3，
所以{a_n+2}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，
所以${a_n}+2={3^n}$，
因此數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={3^n}-2$；
（2）解：由（1）知b_n=log₃（a_n+2）=n，
∴${S_n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}=2[{（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}]=\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，對(duì)表達(dá)式的靈活變形及裂項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．