Question

14．已知正項數(shù)列{a_n}滿足a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂；
（2）判斷函數(shù)f（x）=xⁿ+nx-1，x＞0的單調(diào)性；
（3）求證：0＜a_n＜1．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1、n=2代入所給的式子，解相應(yīng)的方程即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷符號，即可得到單調(diào)性；
（3）由函數(shù)f（x）=xⁿ+nx-1，得到a_n為函數(shù)的零點，由函數(shù)零點存在的判斷方法，得到a_n所在的區(qū)間，即可得證．

解答 解：（1）∵a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*），
令n=1得，a₁+a₁-1=0，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
令n=2得，a22+2a2-1=0，解得a₂=-1±$\sqrt{2}$，
∵a_n＞0，∴a₂=$\sqrt{2}$-1；
（2）f（x）=xⁿ+nx-1（x＞0），
導(dǎo)數(shù)f′（x）=nx^n-1+n＞0，
即有函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增；
（3）證明：∵a_nⁿ+na_n-1=0，
∴a_n是方程xⁿ+nx-1=0的一個根，
設(shè)f（x）=xⁿ+nx-1，
則f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個實數(shù)根，
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，
則f（x）=0有且僅有一個實數(shù)根，
且在（0，1）上，
∴a_n∈（0，1），即0＜a_n＜1．

點評 本題是數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合的綜合題，主要考查了函數(shù)的零點與方程根的轉(zhuǎn)化問題，考查了分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．