Question

已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值．

 

Answer 1

（1），（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，在上是增函數(shù)就是≥0在上恒成立，恒成立問題一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為最值問題，即≤在上恒成立．令，則≤．∵在上是增函數(shù)，∴．∴≤1．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值，實(shí)際還是研究函數(shù)單調(diào)性. ①若，,，解得（舍去）．②若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解得（舍去）．③若，則,，所以．

【解析】
（1）∵，∴． 2分

∵在上是增函數(shù)，

∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立． 4分

令，則≤．

∵在上是增函數(shù)，∴．

∴≤1．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為． 7分

（2）由（1）得，．

①若，則，即在上恒成立，此時(shí)在上是增函數(shù)．

所以，解得（舍去）． 10分

②若，令，得．當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)．

所以，解得（舍去）． 13分

③若，則，即在上恒成立，此時(shí)在上是減函數(shù)．

所以，所以．------16分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值.