Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線．
（1）如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），求證：A，B，D三點共線；
（2）欲使向量K$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$與$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+K$\overrightarrow{{e}_{2}}$平行，試確定實數K的值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$5\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{2}}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$）=5$\overrightarrow{AB}$，由此能證明A，B，D三點共線；
（2）由平面向量平行的性質得K$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+K$\overrightarrow{{e}_{2}}$），由此能求出K．

解答 證明：（1）∵非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線．
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$5\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{2}}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$）=5$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$平行，
又$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$有公共點B，∴A，B，D三點共線．
解：（2）∵非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線．
K$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$與$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+K$\overrightarrow{{e}_{2}}$平行，
∴K$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+K$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{K=\frac{λ}{4}}\\{1=Kλ}\end{array}\right.$，解得K=$±\frac{1}{2}$．

點評 本題考查三點共線的證明，考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量平行的性質的合理運用．