Question

3．如圖，某城市有一條公路正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東α角方向的OB，位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM=3$\sqrt{13}$km，且∠AOM=β，現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)M，其中tanα=2，cosβ=$\frac{3}{{\sqrt{13}}}$，AO=15km．
（1）求大學(xué)M在站A的距離AM；
（2）求鐵路AB段的長AB．

Answer 1

分析 （1）在△AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；
（2）由cos$β=\frac{3}{\sqrt{13}}$，且β為銳角，可求sinβ，由正弦定理可得sin∠MAO，結(jié)合tanα=2，可求sinα，cosα，sin∠ABO，sin∠AOB，結(jié)合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，OM=3$\sqrt{13}$，
由余弦定理可得：AM²=OA²+OM²-2OA•OM•cos∠AOM=（3$\sqrt{13}$）²+15²-2×$3\sqrt{13}$×15×$\frac{3}{\sqrt{13}}$=72．
所以可得：AM=6$\sqrt{2}$，大學(xué)M在站A的距離AM為6$\sqrt{2}$km．…6分
（2）∵cos$β=\frac{3}{\sqrt{13}}$，且β為銳角，
∴sinβ=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
在△AOM中，由正弦定理可得：$\frac{AM}{sinβ}$=$\frac{OM}{sin∠MAO}$，即$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{13}}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{sin∠MAO}$，
∴sin∠MAO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠MAO=$\frac{π}{4}$，
∴∠ABO=α-$\frac{π}{4}$，
∵tanα=2，
∴sin$α=\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠ABO=sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
又∵∠AOB=π-α，
∴sin∠AOB=sin（π-α）=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：$\frac{AB}{sin∠AOB}$=$\frac{AO}{sin∠ABO}$，即$\frac{AB}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{15}{\frac{1}{\sqrt{10}}}$，
∴解得AB=30$\sqrt{2}$，即鐵路AB段的長AB為30$\sqrt{2}$km．…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．