Question

13．已知等比數(shù)列{a_n+2}的公比q=2，a₁=1，數(shù)列{b_n}滿足：$\frac{b_n}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{{1+{b_n}}}{{{a_{n+1}}}}$；
（Ⅲ）求證：$（1+\frac{1}{b_1}）（1+\frac{1}{b_2}）…（1+\frac{1}{b_n}）＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過數(shù)列{a_n+2}的公比q=2、首項a₁+2=3，可得${a_n}+2=3×{2^{n-1}}$，進而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過$\frac{b_n}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$變形即得結(jié)論；
（Ⅲ）通過（Ⅰ）、（Ⅱ）可知a₁=1、b₁=a₂=4，$\frac{{1+{b_n}}}{{{b_{n+1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}$，經(jīng)過變形可得$（1+\frac{1}{b_1}）（1+\frac{1}{b_2}）…（1+\frac{1}{b_n}）$=$1+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{3×{2^{n-1}}-2}}+\frac{1}{{3×{2^n}-2}}$，利用拆項法可得$\frac{1}{a_k}=\frac{1}{{3×{2^{k-1}}-2}}$＜2$（\frac{1}{a_k}-\frac{1}{{{a_{k+1}}}}）$（其中k∈N^*），計算即可．

解答 （Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n+2}的公比q=2，首項a₁+2=3，
∴${a_n}+2=3×{2^{n-1}}$，
∴${a_n}=3×{2^{n-1}}-2$；
（Ⅱ）證明：∵$\frac{b_n}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$，
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{b_n}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{1+{b_n}}}{{{a_{n+1}}}}$，
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{{1+{b_n}}}{{{a_{n+1}}}}$成立；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，a₁=1，b₁=a₂=4，
由$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{{1+{b_n}}}{{{a_{n+1}}}}$，得$\frac{{1+{b_n}}}{{{b_{n+1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}$，
∴$（1+\frac{1}{b_1}）（1+\frac{1}{b_2}）…（1+\frac{1}{b_n}）$=$\frac{{1+{b_1}}}{b_1}•\frac{{1+{b_2}}}{b_2}•\frac{{1+{b_3}}}{b_3}…\frac{{1+{b_n}}}{b_n}$
=$\frac{{1+{b_1}}}{{{b_1}{b_2}}}•\frac{{1+{b_2}}}{b_3}•\frac{{1+{b_3}}}{b_4}…\frac{{1+{b_n}}}{{{b_{n+1}}}}•{b_{n+1}}$
=$\frac{1}{b_1}•\frac{a_2}{a_3}•\frac{a_3}{a_4}…\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}•{b_{n+1}}$=$\frac{a_2}{b_1}•\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}$=$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}$
=$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，
又∵$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$=$1+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{3×{2^{n-1}}-2}}+\frac{1}{{3×{2^n}-2}}$，
∴$\frac{1}{a_k}=\frac{1}{{3×{2^{k-1}}-2}}$
=$\frac{{3×{2^k}-2}}{{（3×{2^{k-1}}-2）（3×{2^k}-2）}}$
$＜\frac{{3×{2^k}}}{{（3×{2^{k-1}}-2）（3×{2^k}-2）}}$
=$2×\frac{{（3×{2^k}-2）-（3×{2^{k-1}}-2）}}{{（3×{2^k}-2）（3×{2^{k-1}}-2）}}$
=2$（\frac{1}{{3×{2^{k-1}}-2}}-\frac{1}{{3×{2^k}-2}}）$
=2$（\frac{1}{a_k}-\frac{1}{{{a_{k+1}}}}）$（其中k∈N^*），
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$$＜1+2[（\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}）+（\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_4}）+…+（\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）]$
=$1+\frac{2}{a_2}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$
=$1+\frac{2}{4}-\frac{2}{{3×{2^n}-2}}$
$＜1+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}$，
∴$（1+\frac{1}{b_1}）（1+\frac{1}{b_2}）（1+\frac{1}{b_3}）…（1+\frac{1}{b_n}）＜\frac{3}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式，前n項和，考查拆項法，考查計算能力、靈活處理問題的能力，注意解題方法的積累，屬于難題．