Question

17．已知點(diǎn)A（-4，0）、P（t，0）（t＞0），在第一象限作正方形OPQR，過A、P、Q三點(diǎn)作⊙B，連接OQ，作CQ⊥OQ交圓于點(diǎn)C，連接OB、AQ．
（1）求證：∠CQP=∠AOQ；
（2）CQ的長度是否隨著t的變化而變化？如果變化，請用含t的代數(shù)式表示CQ的長度，如果不變，求出CQ的長；
（3）當(dāng)tan∠AQO=$\frac{1}{2}$時，
①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②點(diǎn)D是⊙B上的任意一點(diǎn)，求CD+$\sqrt{5}$OD的最小值．

Answer 1

分析 （1）證明：∠CQP=∠CQO+PQO=135°，∠AOQ=∠AOR+∠QOR=135°，可得∠CQP=∠AOQ；
（2）①求出圓的方程為（x+1）²+（y-1）²=10，直線CQ的方程為y=-x+4，聯(lián)立求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②點(diǎn)D是⊙B上的任意一點(diǎn)，延長OD，截取DE=OD，過點(diǎn)E作EF⊥OE，截取EF=OE，連接DF，則DF=$\sqrt{5}$OD，所以CD+$\sqrt{5}$OD=CD+DF≥CF（當(dāng)C、D、F三點(diǎn)共線時，等號成立），分類討論，即可求CD+$\sqrt{5}$OD的最小值．

解答 （1）證明：∠CQP=∠CQO+PQO=135°，∠AOQ=∠AOR+∠QOR=135°，
∴∠CQP=∠AOQ；
（2）解：由題意，過A、P、Q三點(diǎn)作⊙B，半徑為$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t}^{2}+（t+4）^{2}}$，
∵OQ=$\sqrt{2}$t，CQ⊥OQ，
∴CQ²=（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t}^{2}+（t+4）^{2}}$）²-（$\sqrt{2}$t）²=-$\frac{3}{2}$t²+2t+4，
∴CQ=$\sqrt{-\frac{3}{2}{t}^{2}+2t+4}$；
（3）解：①當(dāng)tan∠AQO=$\frac{1}{2}$時，tan∠QAP=tan（45°-∠AQO）=$\frac{1}{3}$=$\frac{t}{t+4}$，∴t=2，
∴圓的方程為（x+1）²+（y-1）²=10，直線CQ的方程為y=-x+4，
聯(lián)立可得C（0，4）；
②延長OD，截取DE=OD，過點(diǎn)E作EF⊥OE，截取EF=OE，連接DF，則DF=$\sqrt{5}$OD，所以CD+$\sqrt{5}$OD=CD+DF≥CF（當(dāng)C、D、F三點(diǎn)共線時，等號成立）
可分兩類討論：
（i）C、D重合時，O、C、E三點(diǎn)共線，此時，CF=DF=$\sqrt{5}$OD=4$\sqrt{5}$；
（ii）∠CDO=∠FDE時，有△COD≌△FED，所以CD=DF=$\sqrt{5}$DO=52 CO=2 5 所以CF=2CD=4 5也就是說，當(dāng)D與C或P 重合時，CD+$\sqrt{5}$OD最短，為4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．