Question

12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時，f（x）=-x²+mx．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)m=2時，解不等式f（t²-1）+f（2t）＜0；
（3）當(dāng)m=-4時，求函數(shù)f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域．

Answer 1

分析 （1）只需求x＞0時f（x）表達(dá)式即可，當(dāng)x＞0時，-x＜0，可求f（-x），再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=-f（-x）；
（2）當(dāng)m=2時，函數(shù)f（x）在定義在R上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可將不等式f（t²-1）+f（2t）＜0化為t²-1＜-2t，解得答案；
（3）當(dāng)m=-4時，畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合并分類討論，可得函數(shù)f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域．

解答 解：（1）當(dāng)x＞0時，則-x＜0，
∵x≤0時，f（x）=-x²+mx．
∴f（-x）=-x²-mx，
又y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=x²+mx，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+mx，x≤0\\{x}^{2}+mx，x＞0\end{array}\right.$，
（2）當(dāng)m=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+2x，x≤0\\{x}^{2}+2x，x＞0\end{array}\right.$，
f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x+2，x≤0\\ 2x+2，x＞0\end{array}\right.$＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）在定義在R上為增函數(shù)，
若f（t²-1）+f（2t）＜0，
則f（t²-1）＜-f（2t）=f（-2t），
即t²-1＜-2t，
解得t∈（-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$），
即不等式f（t²-1）+f（2t）＜0的解集為（-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$）；
（3）當(dāng)m=-4時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-4x，x≤0\\{x}^{2}-4x，x＞0\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

若0＜a≤2，則函數(shù)f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域為[-a²+4a，a²-4a]，
若2＜a≤2+2$\sqrt{2}$，則函數(shù)f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域為[-4，4]，
若a＞2+2$\sqrt{2}$，則函數(shù)f（x）在[-a，a]（a＞0）上的值域為[-a²+4a，a²-4a]，

點評 本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的周期性，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．