Question

20．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（1）求函數(shù)f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）記F（x）=$\frac{f（x）}{x}$-g（x），h（x）=-x²+2ax-$\frac{3}{4}$，設a≤2，如果對任意x₁，x₂∈[1，2]，都有F（x₁）≥h（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=e處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化為a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
（3）對任意x₁，x₂∈[1，2]，都有F（x₁）≥h（x₂），可得F（x）_min≥h（x）_max．

解答 解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1
∵f（e）=e
又∵k=f′（e）=2
∴函數(shù)y=f（x）的在x=e處的切線方程為：y=2（x-e）+e，即y=2x-e
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，
則F′（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F(xiàn)（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（x）=3，
∴a≤3．
（3）F（x）=$\frac{f（x）}{x}$-g（x）=lnx+x²-ax+2，a≤2，x∈[1，2]，∴F′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a＞0，
∴F（x）_min=F（1）=3-a
h（x）=-x²+2ax-$\frac{3}{4}$=-（x-a）²+a²-$\frac{3}{4}$，x∈[1，2]，∴h（x）_max=a²-$\frac{3}{4}$，
∵對任意x₁，x₂∈[1，2]，都有F（x₁）≥h（x₂），
∴3-a≥a²-$\frac{3}{4}$
∴-2.5≤a≤1.5．

點評 本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．