Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)（$\frac{1}{4}$）${\;}^{_{n}}$=1-S_n+1，（n∈N^*），${T_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求使T_n＞$\frac{1007}{2016}$成立的最小的正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）通過S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1與S_n-1+$\frac{1}{3}$a_n-1=1（n≥2）作差、整理可知a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，進而可知數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{3}{4}$、公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知S_n=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$，通過（$\frac{1}{4}$）${\;}^{_{n}}$=1-S_n+1可知b_n=n+1，裂項可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，并項相加可知T_n＞$\frac{1007}{2016}$成立即$\frac{1}{2}•$$\frac{n}{n+2}$＞$\frac{1007}{2016}$成立，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1，
∴S_n-1+$\frac{1}{3}$a_n-1=1（n≥2），
兩式相減得：a_n+$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1）=0，
整理得：a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，
又∵S₁+$\frac{1}{3}$a₁=1，即a₁=$\frac{3}{4}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{3}{4}$、公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=3•$\frac{1}{{4}^{n}}$；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴（$\frac{1}{4}$）${\;}^{_{n}}$=1-S_n+1=$\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
∴b_n=n+1，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}•$$\frac{n}{n+2}$，
∴T_n＞$\frac{1007}{2016}$成立即$\frac{1}{2}•$$\frac{n}{n+2}$＞$\frac{1007}{2016}$成立，
解得：n＞2014，
∴滿足條件的最小的正整數(shù)n=2015．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，裂項是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．