Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{4}$）（A＞0，ω＞0），g（x）=tanx，它們的最小正周期之積為2π²，f（x）的最大值為2g（$\frac{17π}{4}$）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）設(shè)h（x）=$\frac{3}{2}$f²（x）+2$\sqrt{3}$cos²x，當(dāng)x∈[a，$\frac{π}{3}$]時(shí)，h（x）有最小值為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)已知條件，建立周期關(guān)系式，得到相應(yīng)的ω和A的值；
（2）結(jié)合（1），利用降冪公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性確定a的值．

解答 解：（1）∵g（x）=tanx的周期為π，
∵它們的最小正周期之積為2π²，
∴函數(shù)f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{4}$）的周期為2π，
∴$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1，
∵2g（$\frac{17π}{4}$）=2tan（4π+$\frac{π}{4}$）=2tan$\frac{π}{4}$=2，
∴f（x）的最大值為2，
∴A=2，
∴函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：[-$\frac{3π}{4}$+2kπ，$\frac{π}{4}$+2kπ]，（k∈Z），
（2）結(jié)合（1），得
h（x）=$\frac{3}{2}$×4×sin²（x+$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{3}$cos²x，
=6×$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$+2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$，
=3（1+sin2x）+$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$，
=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+3+$\sqrt{3}$，
=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3+$\sqrt{3}$，
∵x∈[a，$\frac{π}{3}$]，h（x）有最小值為3，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴x=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵當(dāng)-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$時(shí)，h（x）為單調(diào)遞增，
當(dāng)$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$時(shí)，h（x）為單調(diào)遞減，
∴h（x）在x=-$\frac{π}{6}$時(shí)，有最小值3，
∴a=-$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性、三角函數(shù)的最值、輔助角公式等知識(shí)，屬于中檔題．