Question

8．給出定義，若a，b為常數(shù)，g（x）滿足g（a+x）+g（a-x）=2b，則稱函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱，已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+1-a}{a-x}$（x≠1），定義域?yàn)锳．
（Ⅰ）判斷y=f（x）的圖象是否關(guān)于點(diǎn)（a，-2）成中心對(duì)稱；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（sinx）的值域；
（Ⅲ）對(duì)于任意的x_i∈A，設(shè)計(jì)構(gòu)造過程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n），如果x_i∈A（i=2，3，4，…）構(gòu)造過程將繼續(xù)下去，如果x_i∉A，構(gòu)造過程將停止，若對(duì)任意x_i∈A，構(gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中心對(duì)稱的定義和性質(zhì)證明y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-2）成中心對(duì)稱；
（2）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法即求函數(shù)的值域；
（3）根據(jù)設(shè)計(jì)過程，進(jìn)行推理即可．

解答 （1）∵f（x）=$\frac{2x+1-a}{a-x}$，
∴f（a+x）+f（a-x）=$\frac{2（a+x）+1-a}{a-（a+x）}$+$\frac{2（a-x）+1-a}{a-（a-x）}$=-$\frac{2x+1+a}{x}$+$\frac{a-2x+1}{x}$=-2-$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{x}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{x}$-2=-4=2×（-2），
由已知定理，得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-2）成中心對(duì)稱．（3分）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{2x+1-a}{a-x}$=$\frac{2x}{1-x}$=$\frac{2（x-1）+2}{1-x}$=-2-$\frac{2}{x-1}$，
設(shè)t=sinx，則-1≤t＜1，
則則函數(shù)f（x）在-1≤t＜1上為增函數(shù)，
則當(dāng)x=-1時(shí)取得最小值，此時(shí)y=-2+1=-1，
則y≥-1，即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，+∞）（7分）
（3）∵構(gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去，∴f（x）=$\frac{2x+1-a}{a-x}$≠a對(duì)任意x∈A恒成立．
∴方程$\frac{2x+1-a}{a-x}$=a無解，即方程（a+2）x=a²+a-1無解或有唯一解x=a．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2=0}\\{{a}^{2}+a-1≠0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+2≠0}\\{（a+2）a={a}^{2}+a-1}\end{array}\right.$，
由此得到a=-2或a=-1（13分）

點(diǎn)評(píng) 本例考查的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有，函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的定義域和值域的求法；數(shù)學(xué)思想有極限思想，方程思想；是一道函數(shù)綜合題．