Question

13．已知等差數列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數列{b_n}的第2項、第3項、第4項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}對任意n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）通過a₁=1，進而表示出b₂=a₂=1+d、b₃=a₅=1+4d、b₄=a₁₄=1+13d，利用${_{3}}^{2}$=b₂b₄計算可知d=2，從而a_n=2n-1，進而可知等比數列{b_n}的公比q=3，計算即得結論；
（2）通過$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n+1與$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{_{n-1}}$=a_n作差，整理可知c_n=2•3^n-1，進而可知數列{c_n}的通項公式，利用等比數列的求和公式計算即得結論．

解答 解：（1）依題意，b₂=a₂=1+d，
b₃=a₅=1+4d，b₄=a₁₄=1+13d，
∵${_{3}}^{2}$=b₂b₄，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得：d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∵等比數列{b_n}的公比q=$\frac{_{3}}{_{2}}$=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{9}{3}$=3，
∴b_n=3•3^n-2=3^n-1；
（2）∵$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n+1，
∴當n≥2時，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{_{n-1}}$=a_n，
兩式相減得：$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2•3^n-1，
又∵c₁=a₂b₁=3不滿足上式，
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₅=3+$\frac{6（1-{3}^{2014}）}{1-3}$
=3-3+3²⁰¹⁵
=3²⁰¹⁵．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．