Question

10．已知圓：x²+y²+x-6y+c=0，直線l過（1，1）且斜率為$-\frac{1}{2}$．若圓與直線交于P，Q兩點，且OP⊥OQ．求
（1）直線l方程；
（2）求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用直線l過（1，1）且斜率為$-\frac{1}{2}$，可得直線的方程；
（20先將直線與圓的方程聯(lián)立，得到5y²-20y+12+m=0，再由韋達定理分別求得y₁•y₂=$\frac{12+c}{5}$．因為OP⊥OQ，轉(zhuǎn)化為x₁•x₂+y₁•y₂=0求解．

解答 解：（1）∵直線l過（1，1）且斜率為$-\frac{1}{2}$，
所以直線的方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0；
（2）設(shè)P、Q的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由OP⊥OQ可得：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x²+y²+x-6y+c=0
化簡得：5y²-20y+12+c=0，
所以y₁+y₂=4，y₁•y₂=$\frac{12+c}{5}$．
所以x₁•x₂+y₁•y₂=（3-2y₁）•（3-2y₂）+y₁•y₂=9-6（y₁+y₂）+5y₁•y₂
=9-6×4+5×$\frac{12+c}{5}$=c-3=0
解得：c=3．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系其其方程的應(yīng)用，應(yīng)用了韋達定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是�？碱}型，屬中檔題．