Question

18．不等式8x⁴+8（a-2）x²-a+5＞0對任意x都成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，通過對a分類討論利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，只要證明f（x）_min＞0即可得出．

解答 解：令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，
則f′（x）=32x³+16（a-2）x=32x（x²+$\frac{a-2}{2}$）．
①當(dāng)a≥2時(shí)，令f′（x）=0，解得x=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值，即最小值，
由題意f（0）=-a+5＞0，解得a＜5．
∴2≤a＜5．
②當(dāng)a＜2時(shí)，令f′（x）=0，解得x=0，±$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$．
令f′（x）＞0，解得-$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$；
令f′（x）＜0，解得x＜-$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$，或0＜x＜$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$．
∴函數(shù)f（x）在x=±$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$時(shí)取得極小值．
且為8（$\frac{2-a}{2}$）2+8（a-2）•（$\frac{2-a}{2}$）-a+5＞0，
化為2a²-7a+3＜0，解得$\frac{1}{2}$＜a＜3．
又a＜2，∴$\frac{1}{2}$＜a＜2．
綜上可知：a的取值范圍是$\frac{1}{2}$＜a＜5．

點(diǎn)評 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．