Question

12．已知函數(shù)f（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{2e}{x}$（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)在x=1處的值，求出導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值即切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線的方程．
（II）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求出二次函數(shù)的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范圍．
（III）通過(guò)g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，通過(guò)對(duì)p的討論，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范圍．

解答 解：（I）當(dāng)p=2時(shí)，函數(shù)f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，
f′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1）
即y=2x-2．
（II）f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{px}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$，
令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
由題意p＞0，h（x）=px²-2x+p的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，
對(duì)稱軸方程為x=$\frac{1}{p}$∈（0，+∞），
∴h（x）_min=p-$\frac{1}{p}$，只需p-$\frac{1}{p}$≥0，
即p≥1時(shí)，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）．
（III）∵g（x）=$\frac{2e}{x}$在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時(shí)，g（x）_min=2；x=1時(shí)，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，
對(duì)稱軸x=$\frac{1}{p}$在y軸的左側(cè)，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)．
當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=-2x，因?yàn)閤∈[1，e]，所以h（x）＜0，
f′（x）=-$\frac{2x}{{x}^{2}}$＜0，此時(shí)，f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)．
∴當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意；
當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由x∈[1，e]⇒x-$\frac{1}{x}$≥0，所以f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx≤x-$\frac{1}{x}$-2lnx．
又由（2）知當(dāng)p=1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴x-$\frac{1}{x}$-2lnx≤e-$\frac{1}{e}$-2lne=e-$\frac{1}{e}$-2＜2，不合題意；
當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
而f（x）_max=f（e）=p（e-$\frac{1}{e}$）-2lne，g（x）_min=2，
即p（e-$\frac{1}{e}$）-2lne＞2，解得p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
綜上所述，實(shí)數(shù)p的取值范圍是（ $\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 解決曲線的切線問(wèn)題，常利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率求出切線方程；解決函數(shù)單調(diào)性已知求參數(shù)范圍問(wèn)題，常令導(dǎo)函數(shù)大于等于0（小于等于0）恒成立，求出參數(shù)的范圍．