Question

20．知a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=（　�。�

• A． $\frac{1}{2n-1}$
• B． 2n-1
• C． $\frac{1}{3n-2}$
• D． 3n-2

Answer 1

分析 通過(guò)a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，可得3a_n+1a_n=a_n-a_n+1，進(jìn)而有3=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，∴3a_n+1a_n=a_n-a_n+1，
兩邊同除以a_n+1a_n得：3=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
由a₁=1，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公差均為3的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．