Question

12．在邊長為4的正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，M、N分別是AB、CF的中點，將該正方形沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐，如圖所示．
（1）證明：MN∥平面AEF；
（2）證明：AB⊥平面BEF；
（3）求四棱錐E-AFNM的體積．

Answer 1

分析 （1）折疊后的圖形：△ABF中，由M、N分別是AB、BF的中點，可得MN∥AF，即可證明MN∥平面AEF；
（2）在正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，折疊后的圖形B，C，D三點重合，即可證明AB⊥平面BEF．
（3）：V_A-BEF=$\frac{1}{3}AB•{S}_{△BEF}$．而$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△ABF}}$=$\frac{1}{4}$，可得V_E-AFNM=$\frac{3}{4}{V}_{A-BEF}$．

解答 （1）證明：折疊后的圖形：△ABF中，
∵M、N分別是AB、BF的中點，
∴MN∥AF，MN?平面AEF，AF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
（2）證明：在正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，折疊后的圖形B，C，D三點重合，
∴三棱錐中，AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
∴AB⊥平面BEF．
（3）解：V_A-BEF=$\frac{1}{3}AB•{S}_{△BEF}$=$\frac{1}{3}×4×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{8}{3}$．
∵$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△ABF}}$=$\frac{1}{4}$，
∴V_E-AFNM=$\frac{3}{4}{V}_{A-BEF}$=$\frac{3}{4}×\frac{8}{3}$=2．

點評 本題考查了正方形的性質、線面垂直的判定與性質定理、線面平行的判定定理、三角形中位線定理、三棱錐與四棱錐的體積計算公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．