Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：a₁=a（a≠2，a∈R），a_n+1=3S_n-2ⁿ⁺¹．求證：{S_n-2ⁿ}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 由a_n+1=S_n+1-S_n=3S_n-2ⁿ⁺¹化簡(jiǎn)可得S_n+1-2ⁿ⁺¹=4（S_n-2ⁿ），從而證明為等比數(shù)列即可．

解答 證明：由已知得，
a_n+1=S_n+1-S_n=3S_n-2ⁿ⁺¹，
所以S_n+1=4S_n-2ⁿ⁺¹，
所以S_n+1-2ⁿ⁺¹=4S_n-2ⁿ⁺²，
所以S_n+1-2ⁿ⁺¹=4（S_n-2ⁿ），
且S₁-2=a₁-2=a-2≠0，
所以{S_n-2ⁿ}是以a-2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．