Question

15．已知式子（x²+$\frac{2}{x}$）ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）當(dāng)n=6時(shí)，求二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
（Ⅱ）若（x²+$\frac{2}{x}$）ⁿ的二項(xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求其展開(kāi)式中的中間項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．
（Ⅱ）已知展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求得n=8，可得中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)公式求得中間項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=6時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•2^r•x^12-3r，
令12-3r=0，則 r=4，
∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：T₅=2⁴•${C}_{6}^{4}$=240．
（Ⅱ）已知展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
∴${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{6}$，∴n=2+6=8，
∴所以（x²+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開(kāi)式中共有9項(xiàng)，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，即T₅=2⁴•${C}_{6}^{4}$•x⁴=1120x⁴，
∴展開(kāi)式中中間項(xiàng)的系數(shù)為1120．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．