Question

10．已知函數f（x）=2cos²ωx+sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）．
（1）若實數x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函數y=f（x）-1的兩個相鄰零點，求ω的值；
（2）△BAC中，若f（$\frac{A}{4}$）=2，∠B＞∠C，BC=$\sqrt{21}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，O為△ABC的外心，求$\overrightarrow{AO}$?$\overrightarrow{BC}$的值．（利用已經求出的ω的值，）

Answer 1

分析 （1）利用和角公式，以及二倍角公式，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，利用周期公式可得ω的值；
（2）結合（1）中函數f（x）的解析式，求出A角，再由∠B＞∠C，BC=$\sqrt{21}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求出b，c，再由外心的性質及向量的數量積運算，得到答案．

解答 解：（1）f（x）=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=1+sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∴y=f（x）-1=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）                    …（4分）
∵實數x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函數y=f（x）-1的兩個相鄰零點，
∴y=f（x）-1的周期是T=π
∴ω=1                                       …（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵f（$\frac{A}{4}$）=2，即sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1，
又由A是三角形的內角，故$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
即A=$\frac{2π}{3}$，
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bc•sinA$=$\sqrt{3}$，
∴bc=4，
又∵BC=$\sqrt{21}$，則由余弦定理得：
21=b²+c²+bc，即b²+c²=17，
又∵∠B＞∠C，即b＞c，
解得：b=4，c=1，
設BC的中點為D，則$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，
∵O為△ABC的外心，
∴$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$²）=$\frac{1}{2}$（b²-c²）=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查三角函數的周期性及其求法，和差角（輔助角）公式，三角形面積公式，余弦定理，向量的數量積，是中檔題