Question

2．設(shè)集合A={y|y=2^x+1，x＞1}，集合B={y|ay-1＞0}．
（1）若a=$\frac{1}{5}$，試判斷集合A與B的關(guān)系；
（2）若A∩B=B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求解指數(shù)函數(shù)的值域化簡集合A，把a代入ay-1＞0求解一次不等式化簡結(jié)合B，則集合A與B的關(guān)系可求；
（2）由A∩B=B，得B⊆A，然后分類求解滿足B⊆A的a的取值范圍．

解答 解：（1）A={y|y=2^x+1，x＞1}=（4，+∞），
當(dāng)a=$\frac{1}{5}$時，B={y|ay-1＞0}=（5，+∞），
∴B?A；
（2）由A∩B=B，得B⊆A，
若a=0，B={y|ay-1＞0}=∅，符合題意；
若a＜0，B={y|ay-1＞0}=（-∞，$\frac{1}{a}$），而A=（4，+∞），
不滿足B⊆A；
若a＞0，B={y|ay-1＞0}=（$\frac{1}{a}$，+∞），而A=（4，+∞），
∴要使B⊆A，則$\frac{1}{a}≥4$，即0＜a$≤\frac{1}{4}$．
綜上，若A∩B=B，則a的取值范圍是[0，$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查交集及其運算，考查了指數(shù)函數(shù)值域額求法，考查了不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是基礎(chǔ)題．