Question

12．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，CE為圓O的直徑，線(xiàn)段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，且AE=1
（1）求異面直線(xiàn)CB與DE所成角的大�。�
（2）將△ACD（及其內(nèi)部）繞AE所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體，求該幾何體體積．

Answer 1

分析 （1）說(shuō)明∠ADE為異面直線(xiàn)CB與DE所成的角，在Rt△AED中，求解即可．
（2）所求問(wèn)題實(shí)際是將△ACD（及其內(nèi)部）繞AE所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體的體積是兩圓錐的體積之差．求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)镃B∥DA，AE⊥DE垂直于圓AE⊥DE所在平面，所以AE⊥DE，
所以，∠ADE為異面直線(xiàn)CB與DE所成的角 …2分
在Rt△AED中，AE=1，DA=2，所以$sin∠ADE=\frac{1}{2}$，得$∠ADE=\frac{π}{6}$，
即異面直線(xiàn)CB與DE所成的角為$\frac{π}{6}$．…5分
（2）由題意知，將△ACD（及其內(nèi)部）繞AE所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體的體積是兩圓錐的體積之差．
因?yàn)楫惷嬷本�(xiàn)CB與DE所成的角為$\frac{π}{6}$，且CB∥DA，所以$∠ADE=\frac{π}{6}$，…7分
又因?yàn)锳E=1，所以，在Rt△AED中，$DE=\sqrt{3}$，DA=2…9分
因?yàn)镃E為圓O的直徑，所以$∠CDE=\frac{π}{2}$，
在Rt△CDE中，CD=DA=2，$DE=\sqrt{3}$，所以$CE=\sqrt{7}$…10分
所以該幾何體的體積$V=\frac{1}{3}π•C{E^2}•AE-\frac{1}{3}π•D{E^2}•AE=\frac{4}{3}π$…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，異面直線(xiàn)所成角的求法，考查計(jì)算能力．