Question

2．設數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2，數列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）化簡數列{b_n}，由對數的運算性質和裂項，可得b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂項相消求和即可得到．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，有a_n=2a_n-1，
所以數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，有a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{2}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題數列的通項和求和，注意運用它們的關系式，同時考查等比數列的通項公式和數列的求和方法：裂項求和，考查運算能力，屬于中檔題．