Question

2．三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，球O的表面積是24π，∠BAC=$\frac{π}{3}$，BC=4，則三棱錐P-ABC的最大體積是$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為R，球心為O，如圖所示，由球O的表面積是24π，可得4πR²=24π，解得R．設(shè)△ABC的外心為O₁，外接圓的半徑為r，則O₁B=r=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$，可得$O{O}_{1}=\sqrt{O{B}^{2}-{O}_{1}{B}^{2}}$．可得O₁P=$\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{3}$．在△ABC中，由余弦定理可得：${4}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，利用基本不等式的性質(zhì)可得bc≤16，利用三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×{O}_{1}P$，即可得出．

解答 解：設(shè)球的半徑為R，球心為O，如圖所示，
∵球O的表面積是24π，∴4πR²=24π，解得$R=\sqrt{6}$．
設(shè)△ABC的外心為O₁，外接圓的半徑為r，則O₁B=r=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴$O{O}_{1}=\sqrt{O{B}^{2}-{O}_{1}{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴O₁P=$\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
在△ABC中，由余弦定理可得：${4}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，
化為b²+c²=bc+16≥2bc，∴bc≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時取等號．
∴三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×{O}_{1}P$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$×$\frac{4\sqrt{6}}{3}$≤$\frac{2\sqrt{6}}{9}×\frac{\sqrt{3}}{2}×16$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了三棱錐外接球的性質(zhì)、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．