Question

9．如圖所示，是某“湯勺”示意圖，由一細(xì)長(zhǎng)柄AB與一半球BC構(gòu)成，且AB與半球相切，切點(diǎn)為B．已知半球的半徑為R，AB柄的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，L：R=$\sqrt{15}$：1，現(xiàn)用一細(xì)線系住A點(diǎn)，并將細(xì)線豎直懸掛．“湯勺”內(nèi)盛滿密度為1.2×10³kg/m³的湯，如果不計(jì)“湯勺”的質(zhì)量，則“湯勺”所盛湯的最大深度是（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$R
• B． $\frac{2}{3}$R
• C． $\frac{1}{3}$R
• D． $\frac{1}{4}$R

Answer 1

分析 用細(xì)線懸掛“湯勺”時(shí)，細(xì)線延長(zhǎng)線過(guò)“湯勺”的重心，過(guò)球形勺的球心；
根據(jù)題意作圖，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出“湯勺”內(nèi)水的最大高度．

解答 解：（1）過(guò)A作水面的垂線，垂足為E，垂線與BC交于點(diǎn)F，
水面與“湯勺”的另一交點(diǎn)為D，如圖所示．
（2）由作圖過(guò)程及數(shù)學(xué)知識(shí)可知：直線AE一定過(guò)半球的球心，
點(diǎn)F就是半球的球心BF=CF=R；由題意知：AB=L，L：R=$\sqrt{15}$：1，
所以AB=$\sqrt{15}$R，△CEF是直角三角形；
△ABF∽△CEF，由相似三角形的知識(shí)得：$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BF}{EF}$，
所以CE=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{\sqrt{15}R}{R}$EF=$\sqrt{15}$EF，即CE=$\sqrt{15}$EF；
在直角△CEF中，由勾股定理得：CE²+EF²=CF²，即：（$\sqrt{15}$EF）2+EF²=R²，
則EF=$\frac{R}{4}$，則“湯勺”內(nèi)水的最大高度是h=R-EF=R-$\frac{R}{4}$=$\frac{3}{4}$R．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求“湯勺”中水的深度，正確作圖、靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題是本題解題的關(guān)鍵．