Question

14．在平面直角坐標系中，有三點A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（3，0）．
（1）求過點A、B、C的拋物線的解析式；
（2）如圖1，在線段AC上有一動點P，過P點作直線PD∥AB交BC于點D，求出△PBD面積的最大值；
（3）如圖2，在（2）的情況下，在拋物線上是否存在一點Q，使△QBD的面積與△PBD面積相等？如存在，直接寫出Q點坐標；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把B點坐標代入求出a即可；
（2）先利用三角函數(shù)的定義計算出∠OAB=60°，∠OCB=30°，則∠ABC=90°，于是得到PD⊥BC，設(shè)P（m，0），則PC=3-m，接著表示出PD和BD，則根據(jù)三角形面積公式得到S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•BD=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（m-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，由于△QBD的面積與△PBD面積相等，則點P到BD的距離等于P點到BD的距離：當PQ∥BD時，可得到此時直線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$可得Q點坐標；當點P和Q在BD兩側(cè)，利用直線平行得到Q點為直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$與拋物線的交點，再通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$得Q點坐標．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把B（0，$\sqrt{3}$）代入得a•1•（-3）=$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）如圖1，
∵OA=1，OB=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴tan∠OAB=$\sqrt{3}$，tan∠OCB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=2OB=2$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，∠OCB=30°，
∴∠ABC=90°，
∵PD∥AB，
∴PD⊥BC，
設(shè)P（m，0），則PC=3-m，
在Rt△PCD中，PD=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（3-m），CD=$\sqrt{3}$PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），
∴BD=BC-CD=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•BD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（3-m）•[2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m）]
=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（m-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當m=1時，△PBD面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）如圖2，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，$\sqrt{3}$），C（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
過P點作BC的平行線交拋物線于Q，則△QBD的面積與△PBD面積相等，此時直線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}}\end{array}\right.$，此時Q點坐標為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}$），
把直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$向上平移$\frac{4\sqrt{3}}{3}$個單位得到直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，則直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$交拋物線于Q，則△QBD的面積與△PBD面積相等，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，此時Q點坐標為（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（2，$\sqrt{3}$），
綜上所述，Q點的坐標為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}$）或（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（2，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的平移變換；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系；解決（3）小題的關(guān)鍵是把三角形面積相等的問題轉(zhuǎn)化為到直線的距離相等．