Question

19．已知，如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，與AB的延長線交于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO延長線于點(diǎn)E，連接PA，且∠EDB=∠EPA．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若PA=6，DA=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）欲證明PA是⊙O的切線，只需推知∠PAD=90°即可；通過相似三角形△APO～△EDO的對(duì)應(yīng)角相等證得結(jié)論即可；
（2）在直角△PAD中，由PA與DA的長，利用勾股定理求出PD的長，由切線長定理得到PC=PA，由PD-PC求出CD的長，在直角△OCD中，設(shè)OC=r，則有OD=8-r，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑．

解答 （1）證明：∵∠EDB=∠EPA，DE⊥PO，
∴∠EDO=∠APO，∠DEO=90°．
又∵∠POA=∠DOE，
∴△APO～△EDO，
∴∠PAO=∠DEO=90°．
又∵OA是半徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△PAD中，若PA=6，DA=8，
根據(jù)勾股定理得：PD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PD與PA都為圓的切線，
∴PC=PA=6，
∴DC=PD-PC=10-6=4，
在Rt△CDO中，設(shè)OC=r，則有DO=8-r，
根據(jù)勾股定理得：（8-r）²=r²+4²，
解得：r=3，
則圓的半徑為3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．