Question

6．如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，過C點作CG∥AD交AB的延長線于點G，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．
（1）試問：CG是⊙O的切線嗎？說明理由；
（2）求證：E為OB的中點；
（3）若AB=10，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由CG∥AD，CF⊥AD，易得CF⊥CG，即可證得CG是⊙O的切線；
（2）首先連接BD，易證得△BDE∽△OCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得E為OB的中點；
（3）首先由E為OB的中點，AB=10，求得OE的長，然后由勾股定理求得CE的長，繼而求得答案．

解答 （1）解：CG是⊙O的切線．
理由：∵CG∥AD，
∴∠FCG+∠CFD=180°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∴∠FCG=90°，
即OC⊥CG，
又∵OC為⊙O的半徑，
∴CG是⊙O的切線；

（2）證明：連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，
∴CF∥BD，
∴△BDE∽△OCE，
∴$\frac{BE}{OE}=\frac{DE}{CE}$，
∵AE⊥CD，
且AE過圓心O，
∴CE=DE，
∴BE=OE，
∴點E為OB的中點；

（3）解：∵AB=10，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
又∵BE=OE，
∴OE=$\frac{5}{2}$，
∵AB⊥CD，
∴CE=$\sqrt{O{C^2}-O{E^2}}=\sqrt{{5^2}-{{（{\frac{5}{2}}）}^2}}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=$5\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的性質與判定、勾股定理、垂徑定理以及相似三角形的判定與性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．