Question

10．利用我們學過的知識，可以導出下面這個形式優(yōu)美的等式：
a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]
該等式從左到右的變形，不僅保持了結構的對稱性，還體現了數學的和諧、簡潔美．
（1）請你說明這個等式的正確性；
（2）若a=2014，b=2015，c=2016，你能很快求出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值；
（3）已知實數x，y，z，a滿足x+a²=2014，y+a²=2015，z+a²=2016，且xyz=36．求代數式$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{xz}$+$\frac{z}{xy}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$的值．

Answer 1

分析 （1）等式右邊中括號中利用完全平方公式展開看，合并后去括號得到結果，與左邊比較即可得證；
（2）根據（1）中的結論，將a，b，c的值代入右邊計算即可求出值；
（3）由xyz=36，將代數式$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{xz}$+$\frac{z}{xy}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$變形得到$\frac{1}{36}$（x²+y²+z²-xy-yz-xz），再將x，y，z的值代入右邊計算即可求出值．

解答 解：（1）等式右邊=$\frac{1}{2}$（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²）=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）=a²+b²+c²-ab-bc-ac=左邊，得證；
（2）當a=2014，b=2015，c=2016時，a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=3；
（3）∵xyz=36，
∴$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{xz}$+$\frac{z}{xy}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{36}$（x²+y²+z²-xy-yz-xz），
∵x+a²=2014，y+a²=2015，z+a²=2016，
∴x=-a²+2014，y=-a²+2015，z=-a²+2016，
∴原式=$\frac{1}{36}$×3=$\frac{1}{12}$．

點評 此題考查了因式分解的應用，弄清題意是解本題的關鍵．