Question

4．如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為點C和點D，AC與ED交于點O，AC=BD，點E是AB的中點，連接OE．
（1）求證：BC=AD；
（2）求證：線段OE所在的直線是AB的垂直平分線．

Answer 1

分析 （1）利用HL定理可證得Rt△ADB≌Rt△BCA，由全等三角形的性質(zhì)可得結論；
（2）由（1）的結論，利用AAS定理，可得△ADO≌△BCO，利用全等三角形的性質(zhì)可得AO=BO，據(jù)線段垂直平分線的判定可得到點O在AB的垂直平分線上，又點E是AB的中點，可得點E在AB的垂直平分線上，證得結論．

解答 證明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在Rt△ADB與Rt△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{BA=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），
∴BC=AD；

（2）在△ADO與△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠BOC}\\{∠D=∠C=90°}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴AO=BO，
∴點O在AB的垂直平分線上，
∵點E是AB的中點，
∴AE=BE，
∴點E在AB的垂直平分線上，
∴線段OE所在的直線是AB的垂直平分線．

點評 本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)和線段垂直平分線的判定，掌握到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關鍵．