Question

15．已知關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+m²+1=0的兩個實數(shù)根的平方和為5，則實數(shù)m的取值是1．

Answer 1

分析 設(shè)方程x²-（m+2）x+m²+1=0的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=m²+1，結(jié)合兩個實數(shù)根的平方和為5，可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程可求出m的值，再根據(jù)方程有實數(shù)根結(jié)合根的判別式可得出關(guān)于m的一元二次不等式，解不等式即可得出m的取值范圍，由此即可得出m值．

解答 解：設(shè)方程x²-（m+2）x+m²+1=0的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，
則有：x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=m²+1，
∵${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=（m+2）²-2（m²+1）=5，
解得：m₁=1，m₂=3．
∵關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+m²+1=0有兩個實數(shù)根，
∴△=[-（m+2）]²-4（m²+1）=-3m²+4m＞0，
解得：0＜m＜$\frac{4}{3}$，
∴m=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、解一元二次方程以及解一元二次方程組，解題的關(guān)鍵是找出關(guān)于m的一元二次方程以及一元二次不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，利用根的判別的結(jié)合方程根的情況得出方程（或不等式）是關(guān)鍵．